好吧问答库 > 设x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证: yz⼀x+zx⼀y+xy⼀z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2

设x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证: yz⼀x+zx⼀y+xy⼀z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2

设x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证: yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2

2025年05月06日 06:48

有2个网友回答

网友（1）：

x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证:
yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2 (1)

证明 (1)式等价于
y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2+9(xyz)^2≥xyz+xyz(x^2+y^2+z^2) (2)
将(2)式齐次化处理得:
(x+y+z)^2*(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)+9(xyz)^2≥
xyz(x+y+z)^3+xyz(x^2+y^2+z^2)*(x+y+z) (3)
(3)展开化简为
∑x^4*(y^2+z^2)+2∑y^3*z^3-2xyz∑x^3-2xyz∑x^2*(y+z)+6(xyz)^2≥0 (4)
因为(4)式是全对称式,不失一般性,设x=max(x,y,z),(4)式分解为:
4y^2*z^2*(x-y)*(x-z)+[x^4+2x^3*(y+z)+x^2*(y^2+z^2)-2xyz(y+z)+y^2*z^2]*(y-z)^2≥0
上式显然成立.证毕

网友（2）：