△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=3B,则c⼀b的取值范围是

解：正弦定理：c/sinC=b/sinB

则c/b=sinC/sinB

=sin3B/sinB

=（3sinB-4sin³B）/sinB

=3-4sin²B

∵0＜B+C＜π 即0＜4B＜π

∴0＜B＜π/4

∴1＜3-4sin²B＜3

故c/b的取值范围是（1,3）

【解析】本题主要应用正弦定理和三角函数恒等变换的三倍角公式。

【正弦定理】（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）。

【三角函数恒等变换】

• 两角和与差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

• 和差化积

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

• 积化和差

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

• 倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)²]

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2secα·cscα

• 三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot²α-1)