好吧问答库 > 数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,5,～～～）．

数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,5,～～～）．

2025年05月06日 17:12

有1个网友回答

网友（1）：

解：（1）a1=1
3tSn- (2t+3) Sn-1=3t （t >0,n=2,3,4,5,～～～）（1）．
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t （t >0,n=2,3,4,5,～～～）（2）．
（1）-（2）得：
3tSn- (2t+3) Sn-1= 3tSn-1-(2t+3)Sn-2
整理得：
3tSn-3tSn-1=(2t+3) Sn-1-(2t+3)Sn-2
即 3t（Sn-Sn-1）=(2t+3) （Sn-1-Sn-2）
3t an= ( 2t+3) an-1
因为t不等于0
所以 an/an-1=2t+3/3t
当n=1时也成立
所以，数列{an}是等比数列
（2）由（1）可知数列{an}的公比f(t)=2t+3/3t
bn=f(1/b（n－1）)（n=2，3，4，…）
代入整理得：
bn = 3 b（n－1）+2
bn +1= 3 （b（n－1）+1）
{bn +1}是等比数列
即 bn = 3^n-1 -1 (n=2，3，4，…)
b1=1