高等数学，无穷级数

2025年03月17日 06:36

有2个网友回答

网友（1）：

根据阿贝尔定理，可以得到如下推论：
如果幂级数不是仅在x=0点收敛，
也不是在（-∞，+∞）内收敛，
则一定存在一个正数R，
当|x||x|>R时，幂级数发散。
这个R称为幂级数的收敛半径。

所以，你求出
lim|u(n+1)/u(n)|=lim|a(n+1)/a(n)|·|x|后，
令lim|a(n+1)/a(n)|=ρ
根据比值审敛法，
ρ|x|<1时，级数绝对收敛，
ρ|x|>1时，级数发散
（发散的原因是limun=∞，
这点课本里面未证，
但确实比较简单，
我感觉你的疑问是否在此？）

由此可得幂级数幂级数的收敛半径为
R=1/ρ

而根据前面谈到的幂级数的特殊的收敛性可知，
至此，大部分点处幂级数的收敛性已知了，
随后仅需讨论x=±R处的收敛性即可。

网友（2）：

无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。