解二重积分绝对值|x2+y2-4|，D:x2+y2小于等于9

2025年03月14日 14:59

有3个网友回答

网友（1）：

其详细过程是，当x²+y²≥4时，丨x²+y²-4丨=x²+y²-4、当x²+y²<4时，丨x²+y²-4丨=4-x²-y²。
将积分区域D={(x,y)丨0≤x²+y²≤9}拆成D1∪D2，其中D1={(x,y)丨0≤x²+y²<4}，D2={(x,y)丨4≤x²+y²≤9}，
∴∫∫D丨x²+y²-4丨dxdy=∫∫D1(4-x²-y²)dxdy+∫∫D2(x²+y²-4)dxdy。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,2)(4-ρ²)ρdρ+∫(0,2π)dθ∫(2,3)(ρ²-4)ρdρ=41π/2。
供参考。

网友（2）：

9-4=5，

所以小于等于5，

但绝对值没有负的，

所以又大于等于0。

网友（3）：

直线3x+4y=0（即y=-3x/4）把全平面分成两部分：在直线及其右上方，成立3x+4y》0；在直线的左下方，成立3x+4y<0。本题用该直线把积分区域分成两部分来算即可去掉绝对值符号。