如y = √x，在[0,1]上连续，所以是一致连续的，但是不满足Lip条件，因为在0附近不可能存在常数L使得|√x| < L|x|
Lip条件本质上在说某种可导性，可以推广到更一般的情形。如sup |f(x) - f(y)|/|x-y|^k存在的话，就有某个L，|f(x) - f(y)| < L|x-y|^k，称为k阶Holder连续，无论k是多少都可以推出一致连续。上面的例子中√x是拳半阶可导的。用这种方法可以刻画一个连续函数离真正的可导有多远。比如说，布朗运动的轨道连续，但是处处不可导，却可以说是“半阶”可导的。另外，Lip函数在证明微分方程解的存在性时是一个常用的条件。
相反，一致连续的概念用的领域就又不一样。如果你学过实变的课程，里面有一些应用和推广。
总之，这两个条件是为了解决不同的问题而引入的。用等价性、谁强谁弱来评价它们，并不太公平。
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