好吧问答库 > 过点A(-4,0)向椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1引两条切线,切点为B、C,且△ABC为正三角形。求ab最大时椭圆方程。

过点A(-4,0)向椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1引两条切线,切点为B、C,且△ABC为正三角形。求ab最大时椭圆方程。

求解，在线等~

2025年05月07日 17:03

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网友（1）：

过A(-4,0)直线:y=k(x+4) k=tan30=√3/3
b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
b^2x^2+a^2(k(x+4))^2=a^2b^2
(b^2+a^2k^2)x^2+8a^2k^2 x+16a^2k^2-a^2b^2=0
(b^2+3a^2)x^2+24a^2x+48a^2-a^2b^2=0
x1+x2=-24a^2/(b^2+3a^2) x1=x2
x=-12a^2/(b^2+3a^2)
AB=|x+4|/cos30=12a^2/[√3(b^2+3a^2)]
b^2+3a^2≥2√3ab b=√3a时最小,|AB|最大
这时,x=-12a^2/6a^2=-2,y=2√3/3
椭圆方程x^2/a^2+y^2/(a^2/3)=1
4/a^2+*(4^2/3)/(a^2/3)=1
4/a^2=1/2
a^2=8,b^2=a^2/3=8/3
椭圆方程 x^2/8+y^2/(8/3)=1