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若当x∈（0， 1 2 ）时，不等式x 2 +x＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是______
若当x∈（0， 1 2 ）时，不等式x 2 +x＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是______
2025年05月08日 17:14
有1个网友回答
网友（1）：
构造函数f（x）=x
2
+x，g（x）=-log
a
x．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜
1
2
）
易知，在区间（0，
1
2
）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，
1
2
）上是递增函数．
由题设可知，函数h（x）在区间（0，
1
2
）上恒有h（x）＜0．∴必有h（
1
2
）≤0．
即有（
1
4
）+（
1
2
）-log
a
（
1
2
）≤0．
整理就是（
3
4
）≤
ln
1
2
lna
，∴
实数a的取值范围是
3
4
4
≤a＜1
．
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