已知x，y，z是正整数，且满足x^3-y^3-z^3=3xyz,x^2=2(y+z),求xy+yz+zx的值

x^3-y^3-z^3=3xyz
x^3-y^3-z^3-3xyz
=[(x-y)^3-3xy(x-y)]-z^3-3xyz
=[(x-y)^3-z^3]-3xy(x-y-z)
=[(x-y-z)^3-3(x-y)z(x-y-z)]-3xy(x-y-z)
=(x-y-z)^3-3(-xy+yz-zx)(x-y-z)
=(x-y-z)[(x-y-z)^2-3(-xy+yz-zx)]
=(x-y-z)(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx)=0

若x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx=0
2x^2+2y^2+2z^2+2xy-2yz+2zx=0
(x^2+2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2+2zx+x^2)=0
所以(x+y)^2+(y-z)^2+(z+x)^2=0
所以只有x+y=0,y-z=0,z+x=0
所以y=z=-x
和正整数矛盾

所以x-y-z=0
x=y+z
x^2=2(y+z)
x^2=2x
x>0,x=2
y+z=2
则只有y=z=1
所以xy+yz+zx=2+1+2=5

这个只能解不定方程了
因为x，y，z是正整数
所以，
x^3-y^3-z^3=3xyz＞0
故有，x^3＞y^3；且x^3＞z^3
即，x＞y且x＞z
同理有，x^2=2(y+z)＜2(x+x)=4x
所以，正整数x＜4
且由x^2=2(y+z)可知x是偶数
所以，只有x=2
又因为x＞y且x＞z且均为正整数
所以只有y=z=1
代入两方程检验可知均成立，可知x=2，y=1，z=1就是唯一符合要求的正整数。
故有，xy+yz+zx=2*1+1*1+1*2=5